Derivación implícita
Se empieza con conceptos e ideas claves para entender el método de derivación o diferenciación implícita, pasando a establecer los pasos para obtener la derivada de una función por este método cuando la función viene dada por una ecuación en que la variable dependiente no está despejada.
La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la no está despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar para encontrar la derivada.
Para conseguir la derivada de con respecto a
Primero se deriva ambos miembros de la ecuación con respecto a tomando en cuenta en todo momento que es función de y por consiguiente al tener que derivar con respecto a hay que aplicar la regla de la cadena.
Finalmente, se despejar
P1 Si hay denominadores, multiplique ambos miembros por el mcm de los denominadores, a fin de eliminarlos.
P2 Elimine los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva si es el caso.
P3 Agrupe los términos con en un miembro y los otros términos en el otro miembro.
P4 Saque factor común
P5 Pase a dividir el factor de
Solución
Preparamos antes de derivar, para que la derivación resulte más fácil. Como tenemos el logaritmo de un producto aplicamos la propiedad, es la suma de los logaritmos, aprovechamos de reescribir el radical
Ahora se deriva implícitamente. Se deriva el lado izquierdo y el derecho con respecto a Recuerde que es función de El lado derecho es una constante, su derivada es cero
Falta despejar
Seguimos las recomendaciones para despejar una variable que está lineal en una ecuación. Primero multiplicar por el mcm de los denominadores a fin de eliminarlos, queda
La última simplificación se obtuvo al sacar de factor común en el numerador y
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