calculo de maximos y minimos

MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION 

Se entiende por máximo o mínimo al valor mas grande o valor mas pequeño que puede adquirir una función en un punto de su gráfica. 

Imagina una montaña y un valle. El punto más alto de la montaña sería un máximo, mientras que el punto más bajo del valle sería un mínimo. De manera similar, en una función matemática, el máximo es el valor más alto que puede alcanzar la función en un intervalo, y el mínimo es el valor más bajo.

Existen dos tipos de máximos y mínimos: absolutos y relativos. Los máximos y mínimos absolutos son los puntos más altos y más bajos en todo el dominio de la función. Por otro lado, los máximos y mínimos relativos son los puntos más altos y más bajos en una región específica del dominio de la función. 

En la gráfica anterior, los puntos P1, P2, P3, Q1, Q2 y Q3 representan los puntos críticos de cada función y al mismo tiempo según el caso:

• P1 es el punto máximo absoluto de la primera función
• P2 es un mínimo relativo
• P3 es un máximo relativo
• Q1 es un mínimo relativo
• Q2 es un máximo relativo
• Q3 es un mínimo absoluto de la segunda función 

Para encontrar los máximos y mínimos de una función, primero debemos identificar los puntos críticos. Un punto crítico de una función es un valor de la variable donde la derivada de la función es cero o no existe. En otras palabras, son los puntos donde la pendiente de la curva de la función se aplana o cambia de dirección.

Por ejemplo, si tenemos una función , los puntos críticos se encuentran resolviendo la ecuación . Estos puntos son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión (donde la curva cambia de concavidad). 

Una vez que hemos identificado los puntos críticos, necesitamos determinar si cada uno de ellos es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión. Para ello, utilizamos dos criterios principales: el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada.

El criterio de la primera derivada nos dice que si la derivada de la función cambia de positiva a negativa en un punto crítico, entonces ese punto es un máximo. Si la derivada cambia de negativa a positiva, entonces ese punto es un mínimo.

El criterio de la segunda derivada implica que si la segunda derivada de la función es positiva en un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo, porque la función es cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada es negativa, entonces el punto es un máximo, porque la función es cóncava hacia abajo.

Ejercicio 1.

  

Solución

en primer lugar calculamos la deriva de la función

  

  

seguidamente igualamos la primera derivada a cero para obtener el valor de X;

  

  

  

este valor lo sustituimos en la función original, de esta forma conseguir un punto critico, el cual todavía no esta definido como máximo o mínimo;

  

  

  

  

  

  

finalmente para determinar si este punto es máximo o mínimo, calculamos la segunda derivada de la función;

  

  

  

Sustituimos el valor de X en la segunda derivada;

  

Como el resultado es positivo, se dice, que el punto critico es un mínimo.

Es importante acotar, que existe otra forma de establecer si el punto critico es máximo o mínimo, este consiste en seleccionar dos valores, uno a ambos lado del valor de X, sustituyéndolos en la primera derivada. Si el resultado de esta sustitución es negativo, se dice que la función es decreciente, si por el contrario es positivo la función es creciente.

El comportamiento de la función a ambos lados del punto crítico, es lo que definirá si es un máximo o un mínimo.

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