Sistemas de ecuaciones de 3 variables

 

Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables

Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior, la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución (x,y,z),$$ lo cual llamamos un triple ordenado. Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto:

La tercera ecuación se puede resolver para c,$$ y luego volvemos a sustituir para hallar y$$ y x.$$ Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones:

1. Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera.
2. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero.
3. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación.

El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado {(x,y,z)}.$$ Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos.

https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/9-2-sistemas-de-ecuaciones-lineales-tres-variables

Definición: Sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables

Se da un sistema de tres ecuaciones lineales en tres variables en la forma

⎧⎩⎨⎪⎪ax+by+czex+fy+gzix+jy+kz=d=h=ℓ

dondea,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k yℓ son coeficientes yx,y, yz son variables. Este sistema se representa en forma estándar.

Verificación de Soluciones

Como hicimos es la sección anterior para verificar soluciones con dos ecuaciones lineales en dos variables, podemos verificar si un triple ordenadoes una solución al sistema de ecuaciones lineales en tres variables.

Ejemplo :

Determinar si(5,−3,−4) es una solución para el sistema:

⎧⎩⎨⎪⎪x+y+z=−2x+2y−3z=122x−2y+z=−9

Solución

Para verificar si(5,−3,−4) es la solución al sistema, conectamos n-chug(5,−3,−4) en cada ecuación y determinamos si obtenemos una declaración verdadera. Si obtenemos declaraciones verdaderas para todas las ecuaciones en el sistema, entonces(5,−3,−4)será la solución al sistema. 

x+y+z=−25+(−3)+(−4)=?−25−3−4=?−2−2=−2Plug-n-chug x=5,y=−3 and z=−4SimplifySubtract✓ True Hagamos lo mismo para la segunda ecuación:

x+2y−3z=125+2(−3)−3(−4)=?1211=12Plug-n-chug x=5,y=−3 and z=−4SimplifyX False

Dado que el triple ordenado(5,−3,−4) hace falsa la segunda ecuación, entonces no(5,−3,−4) es la solución al sistema.

https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Algebra/Algebra_Intermedia_para_Ciencia_Tecnologia_Ingenieria_y_Matematicas_(Diaz)/04%3A_Sistemas_de_Ecuaciones_Lineales_en_Dos_y_Tres_Variables/4.05%3A_Sistemas_de_tres_ecuaciones_lineales_en_tres_variables